Фракталы
 Каталог статей
Главная » Статьи » Методы построения

Метод СИФ
В середине 80-х годов появился метод Сис­тем Итерируемых Функций — СИФ (Iterated Function System IFS) как простое средство получения фрактальных структур. Он был придуман американским математиком М. Барнсли (M. Barnsley), работавшим тогда в технологическом институте штата Джорджия. Сущность этого метода на примере уже упомянутой выше салфетки Серпинского заключается в следующем:
 
Поместим исходный равносторонний треугольник с длиной сто­роны, для определенности равной единице, на комплексную плос­кость [z] так, как показано на рис. слева. Теперь зададимся вопросом, каким линейным преобразованием t1 на комплексной плос­кости он переводится в равносторонний треугольник в два раза мень­шего размера, показанный на рис.справа? Ответ достаточно прост. Поскольку левое основание обоих треугольников лежит в нача­ле координат х = 0, то функция f1(z), осуществляющая это преобра­зование, определяется выражением:          
 
Если теперь сместить этот маленький треугольник по горизонта­ли вправо на величину, равную 1/2, то получим преобразование t2, переводящее исходный треугольник в треугольник, изображенный на рис. справа:
 
Соответствующая этому преобразованию функция f2(z) равна:
Наконец, последний, третий, маленький треугольник получается с помощью преобразования t3, показанного на рис.
 
Отвечающая ему функция f3(z) получается из f1(z) трансляцией на комплексный вектор 

 
 

В итоге три вышеназванные линейные функции f1(z), f2(z), f3(z) осуществляют искомое преобразование исходного треугольника в три треугольника в два раза меньшего размера. Возникает вопрос, а что будет, если теперь каждый из этих трех маленьких треугольников в свою очередь подвергнуть этим трем преобразованиям. Тогда воз­никнет уже 9 треугольников с размером в 4 раза меньше исходного. Непосредственной проверкой можно убедиться, что это приводит к картинке, изображенной на рис. справа:

 
Например, выполняя сначала преобразование t3, а затем преобра­зование t2, мы в итоге получаем треугольник со стороной 1/4, пока­занный на предыдущем рис. справа, и т.д.. Здесь изображены все эти треугольники с обозначением резуль­тирующего преобразования — генеалогического кода, при помощи которого они были получены из исходного треугольника. Слева пока­зан первый шаг итерационной процедуры. Большой треугольник, в который "вписаны" подобным образом три маленьких треугольника в два раза меньшего размера, мы будем ниже называть ячейкой.

 

Комбинация tjti, стоящая в каждом из девяти маленьких треуголь­ников, означает, что этот треугольник был получен из исходного сна­чала применением преобразования ti, а затем к полученному тре­угольнику было применено преобразование tj. Правило построения этой последовательности легко угадывается. На первом месте спра­ва стоит первое преобразование. Оно соответствует позиции дан­ного треугольника в его ячейке в соответствии с обозначениями на предыдущем рис. слева. На втором месте стоит второе по счету преобразова­ние, которое соответствует позиции уже этого большого треугольни­ка в его ячейке и т. д. Отметим очевидную некоммутативность двух (разных) преобразований, т.е. генеалогические коды (t1t2) и (t2t1) соответствуют разным треугольникам. 

Ниже на рис. приведено 4-е поколение итераций, состоящее из 34= 81 треугольника, и показан генеалогический код двух из них. Ясно, что, действуя подобным образом, мы в точности воспро­изводим алгоритм построения салфетки Серпинского. Поэтому после бесконечного числа шагов мы придем в конце концов к множеству точек, образующих этот фрактал.

                                                  С.В. Божокин, Д.А. Паршин "Фракталы и мультифракталы"

  
 


 

 
 
 
 
Категория: Методы построения | Добавил: admin (03.04.2009)
Просмотров: 1654
Четверг, 17.08.2017, 13:28
Приветствую Вас Гость
Главная | Регистрация | Вход
Форма входа
Поиск
Категории
Классификация фракталов [3]
Известные фракталы [9]
Применение фракталов [6]
Методы построения [5]
История возникновения [4]
Биография [3]
гениально и просто
Counter

Copyright MyCorp © 2017

Яндекс цитирования