Фракталы
 Каталог статей
Главная » Статьи » Применение фракталов

Фракталы в механике
Извечным было стремление человека к созданию материалов с заданными свойствами. Однако только недавно им были заложены научные основы материаловедения, позволяющие это делать. Современное материаловедение питается многими древнейшими и сравнительно новыми науками. Это химия, физика, биология, экономика, металлургия, электроника, бионика и др. Каждая из таких наук образовала развивающуюся ветвь на "дереве" материаловедения. Многие из этих ветвей связаны между собой довольно крепко. Феноменологическую связь между строением (структурой) вещества, его физико-механическими свойствами и установлением основных параметров технологических процессов обработки материалов, в которых изменяются эти свойства, представляет собой механика. В последнее время в ней выделилось новое научное направление — механика композитов. И хотя механика композитов, занимающаяся объектами, в которых материальные функции, описывающие определяющие соотношения, являются разрывными функциями координат, изучает не только проблемы материаловедения, наиболее значительные практические результаты достигнуты именно в этом направлении. В развитии теории определяющих соотношений неоднородных материалов с учётом структурных уровней различного порядка первостепенную роль сыграли отечественные учёные А.А.Ильюшин и В.А.Ломакин. В механике композитов одной из важных задач является задача определения эффективных определяющих соотношений для некоторой однородной среды, решение краевой задачи для которой с теми же входными данными (граничными условиями, массовыми силами и т.п.), что и для задачи композиционной среды, по энергетической норме мало отличается от решения соответствующей задачи для композита. Для нахождения эффективных определяющих соотношений разработано много методов, часть из которых позволяет попутно находить с той или иной точностью микроперемещения, микронапряжения, микротемпературу и т.д., то есть перемещения, напряжения, температуру и т.д. в каждом компоненте композита. Для постановки задачи механики композитов так же, как в любой области механики сплошной среды, требуется постулирование некоторой геометрии. Как правило, рассматривается евклидово пространство Rn (n = 1,2,3), но иногда вводятся римановы пространства Vn (n = 1,2,3) или пространства Rn (n = 3). Однако в композитах часто границы между его компонентами не могут быть четко определены. В результате химического, диффузионного взаимодействия компонентов и фазовых переходов, протекающих в них, эти границы приобретают сложную форму и не имеют в классическом смысле конечной меры (длины, площади и т.п.). В этом случае говорят о фрактальной природе границы. Поясним это понятие на примере. Пусть на плоскости имеется некая сильно изломанная линия, имеющая "причудливую" форму. Будем измерять длину этой линии отрезками длины d. Тогда, если измеряемая нами изломанная линия имеет фрактальную природу (является фрактальной линией), то суммарная её длина Ld не стремится к конечному пределу, как это должно быть для "обычной" линии, а стремится к бесконечности по степенному закону (1) Ld = A d 1-D , где А - некая константа размерности LD (L - размерность длины), a D - постоянная (D находится в промежутке от 1 до 2), называемая фрактальной размерностью или размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Формулу (1) можно записать асимптотически: (2) Ld ~ d N(d) , где N - число отрезков необходимых для покрытия фрактальной линии. Если l - длина каждого такого отрезка (то есть расстояние между двумя точками по прямой), то (3) N(d) ~ ( l / d ) D, Из формулы (3) вытекает, что фрактальная размерность находится из выражения (4) D = - ln N(d) / lnd Из формулы (4), например, следует, что для множества Кантора, которое строится выбрасыванием среднего отрезка из каждого, полученного последовательным делением на три части предыдущего, начиная с отрезка [0; 1], (5) D = - ln 2 / ln 3 = 0,6390... Родоначальник теории фракталов Б.Мандельброт предложил сначала определение фрактала в таком виде: "Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа - Безиковича которого строго больше его топологической размерности". Затем он предложил заменить его следующим: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Так что строгого и полного определения фракталов пока не существует. Тем не менее, фрактальный подход нашёл широкое распространение во многих областях науки (и даже искусства). Так, например, появилась теория фрактальных трещин, модель трения для фрактальных поверхностей, фрактальная механика древесно-полимерных композитов и пр. Разработана математическая теория перколяционных кластеров. На основе этой теории создаются новые критерии прочности материалов, в том числе и композиционных. М.Барнслей разработал теорию фрактальных итерационных функциональных систем, с помощью которых осуществил моделирование произвольных образов, широко использующееся в современной машинной графике. С некоторыми " фокусами" поведения итерационных процессов мы сталкивались и при решении задач механики деформируемого твёрдого тела. Ещё одним приложением теории фракталов к механике могут служить дифференциальные операторы дробного (фрактального) порядка в линейной теории вязкоупругости.

http://www.distedu.ru/mirror/_math/www.tmn.fio.ru/works/02x/306/fractals/mechanic.html
Категория: Применение фракталов | Добавил: admin (29.08.2009)
Просмотров: 3305
Понедельник, 23.10.2017, 10:11
Приветствую Вас Гость
Главная | Регистрация | Вход
Форма входа
Поиск
Категории
Классификация фракталов [3]
Известные фракталы [9]
Применение фракталов [6]
Методы построения [5]
История возникновения [4]
Биография [3]
гениально и просто
Counter

Copyright MyCorp © 2017

Яндекс цитирования