Классическое множество Кантора или пыль
Кантора, названо по имени Георга Кантора,
который описал его в 1883 году. Существование
пыли кантора отмечалось до этого Генри
Смитом в 1875 году или ещё ранее. Это
множество известно как пример множества
нулевой меры Лебега, чья мощность равна
мощности континуума c.
Построение
классической пыли Кантора начинается с
выбрасыванием средней трети (не включая
концы) единичного отрезка. То есть исходное
множество есть отрезок [0,1],
и первый шаг состоит в удалении открытого
интервала (1/3, 2/3). На
следующем и всех остальных шагах
выкидываем среднюю треть (не включая концы)
всех отрезков текущего уровня. Таким
образом, получается последовательность
множеств рис
1
.
Рис.1
C0 = [0, 1]
C1 = [0, 1/3] È [2/3, 1]
C2 = [0, 1/9] È [2/9, 1/3] È
[8/9, 1]
…
C
Предельное множество C,
которое представляет собой пересечение
множеств Cn, n = 0, 1, 2, …, называется
классическим множеством Кантора или пылью
Кантора
Вычислим фрактальную размерность этого
множества. Воспользуемся формулой (1).
Очевидно, что на n-м
шаге построения имеется 2n
отрезков длины 1/3n
каждый. Поэтому в качестве N(e
) на этом шаге можно
взять величину 2n, а в качестве e
— величину 1/3n. Предел e
à 0
соответствует пределу n à
¥ .
Поэтому фрактальная размерность равна
Она оказалась меньше Евклидовой
размерности пространства, в котором
располагается это множество (т.е. его длина
равна нулю), но отлична от нуля, т.е. больше
топологической размерности элементов (точек)
этого множества.
Существует функциональный аналог
множества Кантора — функция кантора.
Распределим равномерно на C
единичную массу (меру) с плотностью m
. Тогда функция
описывает распределение меры на канторовом
носителе. Она является непрерывной
возрастающей функцией, которая тем не менее
почти всюду имеет нулевую производную (т.е.
горизонтальна). Её называют “чёртовой
лестницей” (рис.2).
|