Ковер Серпинского - Известные фракталы - Каталог статей

Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Пусть начальное множество S₀ - равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S₀ на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S1 . Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S2. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств S_n, чье пересечение и образует ковер S.

Из построения видно, что весь ковер представляет собой объединение N = 3 существенно непересекающихся уменьшенных в два раза копий; коэффициент подобия r = 1/2 (как по горизонтали, так и по вертикали). Следовательно, S — самоподобный фрактал с размерностью:

d = log(3)/log(2) =1,5850.

Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили 1/4 часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна 1/4² площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:

1/4 + 3(1/4²) + 3²(1/4³) + • • - + 3^n-1 (1/4ⁿ) + • • •.

Эта сумма равна 1. Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть ковер, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной.

Ричард М, Кроновер "Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории."