Фракталы
 Каталог статей
Главная » Статьи » Известные фракталы

Ковер Серпинского
Еще один пример простого самоподобного фрактала ковер Серпинского, придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году.

Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Пусть начальное множество  S0 - равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S0 на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сто­рон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой цен­тральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S1 . Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S2. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств Sn, чье пересечение и образует ковер S.

Из построения видно, что весь ковер представляет собой объеди­нение N = 3 существенно непересекающихся уменьшенных в два раза копий; коэффициент подобия r = 1/2 (как по горизонтали, так и по вертикали). Следовательно,    S — самоподобный фрактал с размерностью:

d = log(3)/log(2) =1,5850.

Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при по­строении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили 1/4 часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна 1/42 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:

1/4 + 3(1/42) + 32(1/43) + • • - + 3n-1 (1/4n) + • • •.

Эта сумма равна 1. Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть ковер, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной.

                                       
  Ричард М, Кроновер "Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории."


Категория: Известные фракталы | Добавил: ulia (03.04.2009)
Просмотров: 2952
Понедельник, 23.10.2017, 10:18
Приветствую Вас Гость
Главная | Регистрация | Вход
Форма входа
Поиск
Категории
Классификация фракталов [3]
Известные фракталы [9]
Применение фракталов [6]
Методы построения [5]
История возникновения [4]
Биография [3]
гениально и просто
Counter

Copyright MyCorp © 2017

Яндекс цитирования