Метод СИФ - Методы построения - Каталог статей

Поместим исходный равносторонний треугольник с длиной стороны, для определенности равной единице, на комплексную плоскость [z] так, как показано на рис. слева. Теперь зададимся вопросом, каким линейным преобразованием t₁ на комплексной плоскости он переводится в равносторонний треугольник в два раза меньшего размера, показанный на рис.справа? Ответ достаточно прост. Поскольку левое основание обоих треугольников лежит в начале координат х = 0, то функция f1(z), осуществляющая это преобразование, определяется выражением:

Если теперь сместить этот маленький треугольник по горизонтали вправо на величину, равную 1/2, то получим преобразование t2, переводящее исходный треугольник в треугольник, изображенный на рис. справа:

Соответствующая этому преобразованию функция f₂(z) равна:

Наконец, последний, третий, маленький треугольник получается с помощью преобразования t3, показанного на рис.

Отвечающая ему функция f₃(z) получается из f₁(z) трансляцией на комплексный вектор

В итоге три вышеназванные линейные функции f₁(z), f₂(z), f₃(z) осуществляют искомое преобразование исходного треугольника в три треугольника в два раза меньшего размера. Возникает вопрос, а что будет, если теперь каждый из этих трех маленьких треугольников в свою очередь подвергнуть этим трем преобразованиям. Тогда возникнет уже 9 треугольников с размером в 4 раза меньше исходного. Непосредственной проверкой можно убедиться, что это приводит к картинке, изображенной на рис. справа:

Например, выполняя сначала преобразование t_3, а затем преобразование t₂, мы в итоге получаем треугольник со стороной 1/4, показанный на предыдущем рис. справа, и т.д.. Здесь изображены все эти треугольники с обозначением результирующего преобразования — генеалогического кода, при помощи которого они были получены из исходного треугольника. Слева показан первый шаг итерационной процедуры. Большой треугольник, в который "вписаны" подобным образом три маленьких треугольника в два раза меньшего размера, мы будем ниже называть ячейкой.

Комбинация t_jt_i,стоящая в каждом из девяти маленьких треугольников, означает, что этот треугольник был получен из исходного сначала применением преобразования t_i, а затем к полученному треугольнику было применено преобразование t_j. Правило построения этой последовательности легко угадывается. На первом месте справа стоит первое преобразование. Оно соответствует позиции данного треугольника в его ячейке в соответствии с обозначениями на предыдущем рис. слева. На втором месте стоит второе по счету преобразование, которое соответствует позиции уже этого большого треугольника в его ячейке и т. д. Отметим очевидную некоммутативность двух (разных) преобразований, т.е. генеалогические коды (t₁t₂) и (t₂t₁) соответствуют разным треугольникам.

Ниже на рис. приведено 4-е поколение итераций, состоящее из 3⁴= 81 треугольника, и показан генеалогический код двух из них. Ясно, что, действуя подобным образом, мы в точности воспроизводим алгоритм построения салфетки Серпинского. Поэтому после бесконечного числа шагов мы придем в конце концов к множеству точек, образующих этот фрактал.

С.В. Божокин, Д.А. Паршин "Фракталы и мультифракталы"