Эксперимент Ричардсона

В настоящее время, благодаря публикациям Мандельброта, фракталам уделяется много внимания. Его книга "Фрактальная геометрия природы" с прекрасными иллюстрациями, историческими анекдотами и т. д. насыщена богатой информацией по этому предмету. Эта работа имела большой успех. Эксперимент Льюиса Ричардсона (1881 1953), одного эксцентричного метеоролога, возможно, и убедил Мандельброта сделать фракталы делом своей жизни.

Степень изгибания кривой (первое знакомство о фрактальной размерностью)

В математике существует несколько различных определений размерности, наиболее известна топологическая размерность. Идея определения размерности была высказана еще А. Пуанкаре. Размерность пустого множества полагается равной "-1" и далее по индукции. Если мы знаем, что такое размерность до n-1, то размерность n некоторого множества означает, что его можно разбить на сколь угодно мелкие части множествами размерности n-1 и нельзя этого сделать множествами размерности n-2. Точка, линия, поверхность имеют, соответственно, топологические размерности 0,1,2. Более точное понятие топологической размерности ввел нидерландский математик Брауэр (1881-1966). Другие математики (Хаусдорф, Безикович, Колмогоров) определяли размерность по-другому. Их определения необязательно дают целые размерности.

Вернемся к эксперименту Ричардсона. Мы выбираем произвольно малую единицу измерения "а", линейку. Затем измеряем длину кривой линии, заменяя ее ломаной линией, составленной из равных отрезков длины "а". Если линейка используется N раз, то общая измеряемая длина равна Na. Далее, в соответствии с определением Мандельброта, "фрактальная размерность", ломаной линии равна:

Назовем D "степенью изгибания" кривой линии (границы). В некоторых случаях дробь имеет постоянные значения на каждом шаге. Тогда

Если обозначить S = Na, то получим

Эта формула показывает, как измеряемая длина увеличивается, при уменьшении единицы измерения.

Кривая Коха

В 1904 году математик Кох дал пример кривой, которая нигде не имеет касательной. Представьте кривую, состоящую из частей, каждая из которых бесконечной длины. Рисунок ниже (р = 5) является хорошим приближением кривой Коха.

Построение кривой Коха похоже на построение точек множества Кантора. Начинаем с отрезка-основы: удаляем его среднюю третью часть и заменяем ее сторонами равностороннего треугольника.

Мысленно мы можем представить кривую Коха как предел таких операций. Если основа имеет длину l, то фрагмент будет состоять из четырех отрезков, каждый длины l/3 и, следовательно, общей длины 4/3. На следующем шаге получаем ломаную, состоящую из 16 отрезков и имеющую общую длину 16/9 или (4/З)² и т.д. Т.к. на каждом шаге

то можно применить формулу. Тогда фрактальная размерность

Кривая Коха самоподобна: каждая часть является миниатюрной копией целого. Можно попробовать самим написать программу построения кривой Кока для случаев, когда основа - отрезок или многоугольник. Для облегчения этого задания дадим анализ построения кривой Коха.

Фиксируем степень приближения p. Это означает, что мы будем применять "р" преобразований к "основе". Если основа - это отрезок, то результатом будет ломаная линия, состоящая из 4^p отрезков равной длины 3^-p. Будем нумеровать отрезки от 0 до 4^p-1 включительно. Для каждого шага (соответствующего индексу n) должен нарисоваться отрезок, точнее говоря, вектор. Направление вектора определяется следующим образом.

Запишем индекс n отрезка в четверичной системе. Например, для отрезка с номером 482 ломаной линии порядка 5 (р = 5) мы получим: 482 = 1 * 256 + 3 * 64 + 2 * 16 + 0 * 4 + 2, т. е. 482 равно 13202 в четверичной системе. Каждое из четырех возможных направлений (на самом деле можно говорить о двух) определяется числом. Тогда мы найдем направление отрезка с n = 482:

Общая формула имеет вид:

Вариации на тему кривой Коха

Кривую Коха можно строить на сторонах правильного многоугольника (т.е. основа правильный многоугольник), при этом получаются довольно красивые картинки. Если в качестве основы взять равносторонний треугольник, а в качестве фрагмента - фрагмент Коха, ориентированный наружу треугольника, то получим фигуру, представленную на рисунке (р = 5). Мандельброт назвал ее островом Коха.

Ориентируя фрагмент Коха внутрь треугольника, получим иную фигуру, представленную на рисунке (p = 5).

Семейство драконов

Проделаем следующую процедуру. Сложим полоску бумаги поперек вдвое. Повторим это дважды. После развертывания получим полоску, состоящую из восьми кусков. Посмотрев на эту полоску в профиль, мы увидим ломаную линию. Этот эксперимент по сгибанию бумаги можно продолжить, но не очень долго.

Пусть угол в каждом сгибе один и тот же. Обозначим его через α. На каждой складке мы поворачиваем "влево" или "вправо". Введем параметр d, который принимает два значения: d=1 (соответствует повороту влево), d=-1 (соответствует повороту вправо). Тогда получаем следующие последовательности:

{n}	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
{d}	1	1	-1	1	1	-1	-1	1	1	1	-1	-1	1	-1	-1	1

Тогда

Следовательно, имеем следующие правила:

Следуя правилу, приведенному выше, мы можем нарисовать ломаную линию, которая получается в результате сгибания полоски любое число раз.

На рисунке ниже показана ломаная линия с углом α = 100° при вершине и p = 6. Эта фигура состоит из 64 отрезков. Если положить α = 90° и начало линии в точке (0;0), а конец в (1;0), то получим кривую Дракона, для p = 14 (2¹⁴ = 16384 отрезков).

Ломаная линия на рис. 2.23 (р=14) показалась похожей ее первооткрывателю Дж. Хайверу на китайских драконов, поэтому она и получила название кривой Дракона. Эта ломаная не пересекает саму себя и, кроме того, она регулярно заполняет часть плоскости (занятой драконом).