Фракталы
 Каталог статей
Главная » Статьи » Методы построения

L-системы

Понятие L-систем, тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось только в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру. Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта, Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений. Рассмотренные в данной курсовой работе L-системы ограничиваются случаем детерминированных L-систем и графикой на плоскости.

Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода используется так называемая тертл-графика (turtle – черепаха). При этом точка (черепашка) движется по экрану дискретными шагами, как правило прочерчивая свой след, но при необходимости может перемещаться без рисования. В нашем распоряжении имеются три параметра (x,y,a), где (x,y) --- координаты черепашки, a --- направление, в котором она смотрит. Черепашка обучена интерпретировать и выполнять последовательность команд, задаваемых кодовым словом, буквы которого читаются слева направо. Кодовое слово представляет собой результат работы L-системы и может включать следующие буквы:

 

F --- переместиться вперед на один шаг, прорисовывая след.

b --- переместиться вперед на один шаг, НЕ прорисовывая след.

[  --- открыть ветвь (подробнее см. ниже)

]  --- закрыть ветвь (подробнее см. ниже)

+ --- увеличить угол a на величину q

- --- уменьшить угол a на величину q

 

Размер шага и величина приращения по углу q задаются заранее и остаются неизменными для всех перемещений черепашки. Если начальное направление движения а (угол, отсчитываемый от положительного направления оси Х) не указано, то полагаем а равным нулю.

Несколько примеров иллюстрируют применение команд ветвления (обозначаются ],[) и вспомогательных переменных (обозначаются X, Y, и т.д.). Команды ветвления используются для построения деревьев растений, а вспомогательные переменные заметно облегчают построение некоторых L-систем.

Формально, детерминированная L-система состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих, как следует преобразовывать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации). К примеру, можно заменять букву F при помощи порождающего правила newf = F-F++F-F, что соответствует L-системе для снежинки Коха, рассматриваемой ниже. Символы +, -, ], [ не обновляются, а просто остаются на тех местах, где они встретились. Обновление букв в данном слове предполагается одновременным, то есть буквы слова одного уровня обновляются раньше любой буквы следующего уровня.

L-система, соответствующая снежинке Коха (рис. 2.2.1), задается следующим образом:

 

p = p/3

Аксиома: F++F++F

Порождающее правило: newf = F-F++F-F

 

Графическое представление аксиомы F++F++F --- равносторонний треугольник. Черепашка делает один шаг вперед, затем угол а увеличивается на 2p/3 и черепашка делает еще один шаг.

На первом шаге каждая буква F в слове-инициаторе F++F++F заменяется на F-F++F-F:

 

(F-F++F-F)+(F-F++F-F)+(F-F++F-F)

 

Повторяя этот процесс, на втором шаге получим:

 

F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+ F-F++F-F- F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F

 

и т.д. Причем, убедившись на собственном опыте программирования L-систем знаю, что для снежинки Коха на 20-й итерации порождающее правило занимает несколько мегабайт текста !

Вот еще некоторые фракталы, построенные с использованием L-системы:

Рис. 3.1. Дракон Хартера-Хатвея после 12-ти итераций

                                                 

и его L-система:

p = p/4

Аксиома: FX

Порождающее правило:         newf = F

                                                  newx = X+YF+

                                                  newy = -FX-Y

 

Рис 3.2. Дерево после 5-ти итераций

                                                   

и его L-система:

p = p/7

Аксиома: F

Порождающее правило:         newf = F[+F]F[-F]F

 

 

Категория: Методы построения | Добавил: admin (06.04.2009)
Просмотров: 2883
Понедельник, 23.10.2017, 10:15
Приветствую Вас Гость
Главная | Регистрация | Вход
Форма входа
Поиск
Категории
Классификация фракталов [3]
Известные фракталы [9]
Применение фракталов [6]
Методы построения [5]
История возникновения [4]
Биография [3]
гениально и просто
Counter

Copyright MyCorp © 2017

Яндекс цитирования