Вероятно,
нельзя привести пример такого компьютерного эксперимента, который впечатлением
от результатов превосходил бы то чувство удивления, и восхищения, которое
вызывает графическое построение множеств Мандельброта и множества Жюлиа на
плоскости. Эти множества относятся к хаотической динамике на комплексной
плоскости.
Множество
Мандельброта и множество Жюлиа определяется как граница множества точек z, стремящихся к
бесконечности при итерировании
f(z) = z2+c,
где с – комплексная
константа. При этом множества Жюлиа (см. рис. 4.2.2) при разных с могут
представляться как угодно сложно и красиво, но все они распределяются на два
типа: связные или несвязные. Множество Мандельброта (см. рис.
4.2.1) служит индикатором для двух типов множеств Жюлиа функции z2+c. Каждая точка в
множестве Мандельброта представляет значение с, для которого множество
Жюлиа вполне связно и каждая точка из дополнения к множеству
Мандельброта представляет значение с, для которого множество Жюлиа вполне несвязно.
Построение
данных множеств сводится к построению орбит f(z),
проверяемых на ограниченность. То есть на рисунок попадает только та точка на
комплексной плоскости (представляемая плоским экраном монитора), которая при
итерировании функции f(z0), последняя не
стремится к бесконечности, а остается ограниченной на каком-то уровне. Проверка
идет для каждой точки (x,y).
Несложно написать
программу для построения множества Мандельброта. Единственная проблема, которая
может возникнуть при использовании этой программы на маломощных ЭВМ --- большой
объем вычислений. Для того, чтобы получить приемлемое изображение множества,
желательно отображать по меньшей мере 256x256 пикселов. Более удачные визуализации получаются при
использовании окна 400x400
пикселов и более. При этом количество итераций достаточно 20-ти. Для получения
более качественного построения множества можно увеличить количество итераций до
50, 70, 100 и более.