Существуют фракталы, которые плотно заполняют пространство, в котором они находятся, так что их фрактальная размерность D=d. Одним из примеров такого рода являются кривые Пеано (Peanocurves). Первая из них была найдена Пеано в 1890 г. Начальным (инициирующим) элементом здесь можно выбрать единичный квадрат, каждая из сторон которого на следующем шаге заменяется генератором, показанным на рисунке:
Генератор для кривой Пеано
Он состоит из 9 отрезков длины 1/3, соединенных под прямым углом друг к другу. Цифры показывают способ обхода данной кривой. При такой геометрии неизбежны две точки самоконтакта 2-6 и 5-9. В результате исходный квадрат преобразуется так, как показано на рисунке:
Затем каждый из отрезков
образовавшейся фигуры длиной в 1/3 преобразуется подобным же образом, и так до
бесконечности. В результате возникает самоподобная непрерывная кривая, плотно
заполняющая квадратную область с площадью, равной 2.